تجزیه متقارن- مثلثی یک ماتریس و کاربردهای آن

دستگاه معادلات خطی نقش مهمی در حوزه های گوناگون از جمله ریاضیات، فیزیک، مهندسی و ... ایفا می کنند. همچنین در بسیاری از کاربردهای علمی و عملی، با دستگاه های معادلات خطی مواجه می شویم که همه یا قسمتی از عناصر تشکیل دهنده آن، اعداد فازی هستد. بنابراین توسعه روش های عددی برای حل آن ها اهمیت دارد در سال 2000 تجزیه جدیدی از ماتریس بنام «تجزیه مثلثی - متقارن» توسط گولاب و یوآن برای تجزیه ماتریس های نامنفرد مطرح شده است. با استفاده از این تجزیه، هر ماتریس نامنفرد را می توان به صورت حاصل ضرب یک ماتریس مثلثی و یک ماتریس متقارن معین مثبت نوشت. برای به دست آوردن تجزیه جدید، چند الگوریتم با ویژگی های مشابه ارائه گردید تا این که در سال 2006 یوآن و کاردریو، الگوریتمی ابداع کردند که نسبت به سایر الگوریتم ها مزایای بیشتری داشت و آن را «الگوریتم سطری وار» نامیدند. از آن جا که برای ماتریس معین مثبت تجزیه چولسکی وجود دارد، مبنای این الگوریتم ها، یافتن ماتریس های پایین مثلثی t و l است به طوری که a=tlltیا ta= llt.در این پایان نامه، تلاش گردید ضمن آشنایی با روش های مذکور، مزیت ها و معایب بکارگیری آن را در حل دستگاه ها بویژه در حل سیستم های فازی و تماماً فازی بررسی کنیم. به همین منظور، ابتدا به بیان مفاهیم مقدماتی پرداخته ایم. سپس از آن جا که مقایسه تجزیه های جدید با روش های مرسوم مورد نظر بوده است، برای یادآوری و تکمیل بحث، فصل دوم را به معرفی اجمالی تجزیه lu، تجزیه چولسکی و روش گرادیان مزدوج اختصاص داده ایم. در فصل سوم، تجزیه ts به طور کامل معرفی و روش به دست آوردن الگوریتم های آن همراه با بکارگیری آن در حل دستگاه های خطی تشریح شده است. در فصل چهارم، تجزیه های با تجزیه lu با محورگیری و بویژه برای ماتریس های متقارن که در کاربردهای علمی و مهندسی از اهمیت زیادی برخوردارند، با تجزیه چولسکی مورد مقایسه قرار گرفته است. به عنوان کاربردی دیگر از تجزیه ، می توان استفاده از پیش شرط ساز سه بلوکی برای حل مسائل نقطه زینی اشاره داشت. از این رو در فصل پنجم، نشان داده ایم این پیش شرط سازها مسائل نقطه زینی را به دستگاه متقارن معین مثبت تبدیل می کنند. همچنین عدد وضعیت این دستگاه های متقارن و معین مثبت برآورد و کارایی تجزیه جدید برای حل مسائل نقطه زینی اثبات شده است. در پایان، در فصول شش و هفت ما با یکی از کاربردهای جالب این تجزیه در حل دستگاه های خطی فازی و تماماً فازی آشنا می شویم.